Differentialgeometrie von Kurven und Flächen by Manfredo P. do Carmo (auth.)

By Manfredo P. do Carmo (auth.)

Es gibt in der Differentialgeometrie von Kurven und FJachen zwei Betrachtungsweisen. Die eine, die guy klassische Differentialgeometrie nennen konnte, entstand zusammen mit den Anfangen der Differential-und Integralrechnung. Grob gesagt studiert die klassische Differentialgeometrie lokale Eigenschaften von Kurven und FHichen. Dabei verstehen wir unter lokalen Eigenschaften solche, die nur vom Verhalten der Kurve oder Flache in der Umgebung eines Punktes abhiingen. Die Methoden, die sich als fUr das Studium solcher Eigenschaften geeignet erwiesen haben, sind die Methoden der Differentialrechnung. Aus diesem Grund sind die in der Differentialgeometrie untersuchten Kurven und Flachen durch Funktionen definiert, die von einer gewissen Differenzierbarkeitsklasse sind. Die andere Betrachtungsweise ist die sogenannte globale Differentialgeometrie. Hierbei untersucht guy den EinfluB lokaler Eigenschaften auf das Verhalten der gesamten Kurve oder Flache. Der interessanteste und reprasentativste Teil der klassischen Differentialgeometrie ist wohl die Untersuchung von Flachen. Beim Studium von Flachen treten jedoch in nattirlicher Weise einige 10k ale Eigenschaften von Kurven auf. Deshalb benutzen wir dieses erste Kapi­ tel, urn kurz auf Kurven einzugehen.

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41). c) Der Rotationsindex von C ist ~ 2. 7 Globale Eigenschaften ebener Kurven 41 14 a) Zeige, dall> eine Gerade L, die eine geschlossene konvexe Kurve C trifft, entweder tangential an C ist oder C in genau zwei Punkten schneidet. b) Benutze Teil a, urn zu zeigen, dall> das Mall> der Menge von Geraden, die C treffen (ohne Vielfachheit), gleich der Lange von C ist. 15 Der Greensche Satz in der Ebene ist eins der grundlegenden Ergebnisse in der Differential- und Integralrechnung und kann folgendermall>en formuliert werden.

2 Regulare Flachen. Urbilder regularer Werte xr i : (x, y) ~ (u(x, y), vex, y)) mit der Funktion Wenn wir jetzt die Abbildung (11" 0 (u, v) ~ z(u, v) zusammensetzen, sehen wir, d~ V der Graph der differenzieren Funktion z =z (u (x, y), v (x, y)) =f(x, y) ist. Damit ist der erste Fall bewiesen. Die restlichen faIle konnen genauso behandelt werden und liefem x = hey, z) und y=g(x,z). 0 Der nachste Satz besagt das Folgende. Wenn wir bereits wissen, daB Seine regulare Flache ist, und wir einen Kandidaten x fUr eine Parametrisierung haben, so brauchen wir die Stetigkeit von X-I nicht nachzuprtifen, vorausgesetzt die anderen Bedingungen sind erflillt.

6 behandeln wir die Idee der Orientierung auf regularen Flachen. Dieses Konzept benotigen wir in Kapitel3 und 4. Flir die, die diesen Abschnitt auslassen, geben wir zu Beginn von Kapitel 3 einen Uberblick tiber den Begriff der Orientierung. 2 Regulare Flachen. Urbilder regularer Werte1) In diesem Abschnitt fOOren wir den Begriff der regularen Flache in 1R3 ein. Grob gesprochen erhalt man eine regulare Flache in 1R3 dadurch, dafl man Stticke der Ebene verbiegt und sie 1) Beweise in diesem Abschnitt konnen beim ersten Lesen iibergangen werden.

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