Arbeitsbuch zur Linearen Algebra: Aufgaben und Lösungen by Uwe Storch, Hartmut Wiebe

By Uwe Storch, Hartmut Wiebe

Das Buch ist als Ergänzung zu und zum Gebrauch neben einer Vorlesung über Lineare Algebra gedacht. Es ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der Linearen Algebra bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbststudium – angeeignet hat.

Als foundation – auch für das Zitieren von Standardergebnissen – wird der zweite Band des Lehrbuchs der Mathematik von U. Storch und H. Wiebe zu Grunde gelegt, der ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist und dem ein Großteil der hier behandelten Aufgaben entnommen ist. Etliche der Aufgaben sind aber auch neu. Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen. Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemerkungen eingefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen.

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Zur 2. Gleichung die Induktionsbehauptung. • c) Offenbar gilt: Kern f liegt in Kern gf , und f bildet Kern gf in Kern g ab. Außerdem induziert g wegen g(Bild f ) ⊆ Bild gf einen Homomorphismus g von Kokern f = W/ Bild f in Kokern gf = X/ Bild gf mit Bild g/ Bild gf als Bild. Man erhält so die exakten Sequenzen ι f Kern f −→ Kern gf −→ Kern g g Kokern f −→ Kokern gf → Kokern g . und Da Kern f, Kern g, Kokern f, Kokern g nach Voraussetzung endlichdimensional sind, gilt dies nach Aufgabe 18 auch für Kern gf und Kokern gf .

Sowie die n×n-Matrix ⎜ . ⎜ . ⎜ . . . ⎜. . ⎟ . . ⎟ ⎝ ⎠ ⎝0 ··· 0 ··· 0 0 ⎠ 0 ··· 0 ··· 0 1 1 · · · 1 · · · 1 2−n 0 · · · −1 · · · 0 1 2 Betrachten wir nun noch die supermagischen Matrizen. Bei n = 1 ist jede Matrix supermagisch, bei n = 2 sind offenbar genau die Matrizen supermagisch, deren Koeffizienten alle gleich sind. In beiden Fällen ist der Raum dieser Matrizen 1-dimensional. Sei von nun an n ≥ 3. Genau dann ist f (a11 , . . , a1, n−1 , . . , an−1, 1 , . . h. wenn 2 (a11 , .

Lösung Die magischen Matrizen A = (aij ) sind die Lösungen des homogenen linearen Glein chungssystems (aik − ank ) = 0 = k=1 n (akj − ank ), i, j = 1, . . 1 (2) einen K-Untervektorraum des Raums aller n × n-Matrizen. Für die supermagischen n Matrizen kommen noch die beiden Gleichungen Für A = (aij ) sei zi := n−1 j =1 n−1 aij bzw. sj := (akk − ank ) = 0 = k=1 aij , sowie a := i=1 n−1 i,j =1 n (ak,n+1−k − ank ) k=1 n−1 n−1 aij = zi = i=1 j =1 hinzu. sj , i, j = 1, . . , n − 1. A ist offenbar genau dann magisch mit Zeilen- und Spaltensumme s, wenn gilt ain = s − zi , anj = s − sj für i, j = 1, .

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