Algèbre: Chapitre 4 à 7 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce deuxième quantity du Livre d Algèbre, deuxième Livre des Éléments de mathématique, traite notamment des extensions de corps et de los angeles théorie de Galois. Il comprend les chapitres: four. Polynômes et fractions rationnelles; five. Corps commutatifs; 6. Groupes et corps ordonnés; 7. Modules sur les anneaux principaux.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une nouvelle édition parue en 1981.

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Yp(x). (ii) Soient x, , . , x, E M. , p, des entiers 3 0, et p = p l + ... + p,. Soit E l'ensemble des applications cp de { 1, . . p ) dans ( 1, .. , Card cpP'(n) = p,. On a (iv) Soient x E M, et q, r des entiers 2 O. On a (v) Soient x, , . , x, E M. , n), posons x, = x xi. Alors ieH L'assertion (i) résulte aussitôt de la prop. 2, (ii). Prouvons (ii). Par récurrence sur n, on voit qu'il suffit d'envisager le cas où n Alors on a yp(xl + x,) = (x, + x,) 1 = PI O (x, C = 2. + x,) o(xl O ... O (x, + x,) (p facteurs) O x1 O ...

43). Or on a Cela prouve la formule (16) et l'unicité de h. PROPOSITION 16. - Soient M un A-module libre, N un A-module, q un entier positif, u l'homomorphisme canonique de Hom(TSq(M), N) dans PolYM, N). (i) Si A est intègre et injîni et N sans torsion, u est un isomorphisme. y dans N est injective, u est un isomorphisme. Dans les deux cas de la proposition, il s'agit de prouver que u est injectif, c'est-àdire que toute application linéaire f de TSq(M) dans N, nulle sur yq(M), est nulle. Supposons A intègre et infini et N sans torsion.

II existe alors un homomorphisme unifère continu cp et un seul de A[[I]] dans E tel que cp(Xi) = x i pour tout i E 1. Pour tout i E 1, X; tend évidemment vers O dans A[[I]]quand n tend vers cc ; d'autre part, si 1 est infini, X i tend vers O suivant le filtre des complémentaires des parties finies de 1. Cela prouve (i). Soit (xi),, une famille d'éléments de E satisfaisant aux conditions a ) et b) de (i). Soit \I, l'homomorphisme u H ~ ( ( x , ) ~de , ~ A[(X,),,] ) dans E. soit V un voisinage de O dans E qui soit un idéal de E.

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