Algèbre 1 [Lecture notes] by Laurent Berger

By Laurent Berger

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4. — On a : (1) A ⊗A N = N ; (2) (M1 ⊕ M2 ) ⊗A N D´emonstration. — On a (M1 ⊗A N ) ⊕ (M2 ⊗A N ). i [λi , ni ] − [1, i λi ni ] ∈ Y ce qui fait que l’application : λi ⊗ ni → i λi ni i de A ⊗A N dans N est injective et donc un isomorphisme. 50 CHAPITRE 6. PRODUITS TENSORIELS Ensuite, l’application (m1 ⊕ m2 ) ⊗ n → (m1 ⊗ n) ⊕ (m2 ⊗ n) est bien d´efinie et son inverse est donn´e par (m1 ⊗ n1 ) ⊕ (m2 ⊗ n2 ) → (m1 ⊕ 0) ⊗ n1 + (0 ⊕ m2 ) ⊗ n2 et c’est donc un isomorphisme. 5. — Si M et N sont tous les deux libres de type fini, de bases {mi } et {nj }, alors M ⊗A N est lui aussi libre de type fini, de base {mi ⊗ nj }.

Ds de A \ {0} tels que : (1) les d1 m1 , . . , ds ms forment une base de N ; (2) on a d1 | d2 | · · · | ds . D´emonstration. — Pour que la d´emonstration soit aussi claire que possible, nous montrons le th´eor`eme dans le cas o` u A est un anneau euclidien (c’est le cas dans les deux applications les plus importantes, A = Z et A = K[X]). La d´emonstration dans le cas g´en´eral est assez semblable mais l’une des ´etapes est plus technique. Montrons donc le th´eor`eme sous l’hypoth`ese suppl´ementaire que A est un anneau euclidien.

En comptant les dimensions, on voit que ces familles g´en´eratrices sont forc´ement libres. Si V et W sont deux repr´esentations d’un groupe fini G, alors V ⊗ W est naturellement une repr´esentation de G via la formule ρV ⊗W (g) = ρV (g) ⊗ ρW (g). Le fait que Tr(ρV (g) ⊗ ρW (g)) = Tr(ρV (g))⊗Tr(ρW (g)) implique que χV ⊗W = χV ·χW . Si V = W alors Sym2 (V ) et Λ2 (V ) sont stables sous l’action des ρV ⊗V (g). 2. — Si V est une repr´esentation de G, alors : 1 1 χSym2 (V ) (g) = (χ2V (g) + χV (g 2 )) et χΛ2 (V ) (g) = (χ2V (g) − χV (g 2 )).

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