12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik by Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

By Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, was once sind lineare Ordnungen und wozu ben?tigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra? Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der F?lle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu k?nnen. Es behandelt hierzu je zw?lf Schl?sselkonzepte der folgenden zw?lf Themengebiete der Mathematik: Grundlagen, Zahlen, Zahlentheorie, Diskrete Mathematik, Lineare Algebra, Algebra, Elementare research, H?here research, Topologie und Geometrie, Numerik, Stochastik und Mengenlehre und Logik.  Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und pr?zisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beitr?ge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen. Das Buch ist geschrieben f?r Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und m?chte ein treuer Begleiter und eine zuverl?ssige Orientierungshilfe f?r das gesamte Studium sein.

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Im obigen Beispiel zeichnet keine nat¨ urliche Eigenschaft z1 vor z2 aus oder umge√ kehrt. Daher sollte man im Komplexen a“ wirklich nur in Anf¨ uhrungszeichen ” benutzen, denn eine gedankenlose Verwendung f¨ uhrt zum Beispiel zur Gleichung 4= √ 16 = (−2) · (−8) = √ √ √ √ −2 · −8 = 2i · 8i = −4. Ein korrekter Umgang mit komplexen Wurzeln basiert auf den n-ten Einheitswurzeln ωk,n = ei2πk/n mit k = 1, . . , n. Es sind dies die n komplexen L¨ osungen n von z = 1. Die n-ten Einheitswurzeln bilden in der Gaußschen Zahlenebene ein regelm¨ aßiges n-Eck.

Die Elemente von O heißen auch Cayley-Zahlen. Sie erf¨ ne schwache Form der Assoziativit¨ at, n¨ amlich u(uv) = (u2 )v und (uv)v = u(v2 ) f¨ ur u, v ∈ O. Außer R, C und H ist O die einzige endlich-dimensionale Divisionsalgebra, die im obigen Sinn schwach assoziativ ist. Das letzte Wort in dieser Angelegenheit hat ein Satz von Kervaire und Milnor aus dem Jahr 1958: Jede endlich-dimensionale Divisionsalgebra hat notwendig die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Der Beweis benutzt tiefliegende Resultate der algebraischen Topologie.

Analoges gilt f¨ ur mehrere Relationen und Konstanten. Sind R und P einstellig, so lautet (b): F¨ ur alle a ∈ M gilt a ∈ R genau dann, wenn s(a) ∈ P . ) Ist eine strukturerhaltende Abbildung injektiv, so heißt sie eine Einbettung oder ein Monomorphismus. Ihr Wertebereich ist dann automatisch eine Unterstruktur von N . Ist sie bijektiv, so heißt sie ein Isomorphismus zwischen M und N . Die Strukturen M und N heißen isomorph, falls ein Isomorphismus s: M → N existiert. Analog heißt M einbettbar in N , falls ein Monomorphismus s: M → N existiert.

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